Kilka wykładów o funkcjach rzeczywistych.

Abstract

Podstawy teorii funkcji rzeczywistych znajdują liczne zastosowania w innych działach matematyki. Na przykład funkcje o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] stanowią ciekawą i ważną algebrę Banacha. Całka Riemanna-Stieltjesa ma istotne zastosowania w probabilistyce i w równaniach różniczkowych. Funkcjom monotonicznym i funkcjom o wahaniu skończonym są poświęcone dwa pierwsze rozdziały skryptu, a kolejny dotyczy najważniejszych własności całki Riemanna-Stieltjesa. Klasyczne twierdzenie Vitalego o pokryciu jest ważnym narzędziem w teorii funkcji odwołującym się do miary Lebesgue’a na prostej. Z jego pomocą dowodzi się, że funkcja monotoniczna na przedziale jest różniczkowalna prawie wszędzie. Ten materiał został wyłożony w rozdziale 4. Absolutnie ciągłość funkcji jest fundamentalnym pojęciem z punktu widzenia całki Lebesgue’a. Tę klasę funkcji omówiono w rozdziale 5, zamieszczając ich elegancką charakteryzację pochodzącą od Banacha i Zareckiego. Geneza funkcji pierwszej klasy Baire’a wywodzi się z początków tzw. deskryptywnej teorii mnogości. Te funkcje rozpatrywane w różnych ujęciach nadal są interesujące z punktu widzenia topologii i analizy funkcjonalnej. Zostały one omówione w rozdziale 6, gdzie przedstawiono m.in. klasyczną charakteryzację Lebesgue’a wyrażoną w języku przeciwobrazów półprostych. Ostatni rozdział 7 zawiera zestaw zadań ilustrujących rozważania teoretyczne z poprzednich rozdziałów. W nowym wydaniu skryptu usunięte zostały usterki zauważone w poprzedniej wersji. Rozszerzono materiał dotyczący funkcji absolutnie ciągłych i funkcji pierwszej klasy Baire’a poprzez dołączenie podrozdziałów 5.3 i 6.3. W rozdziale 7 pojawiły się nowe podrozdziały 7.1 i 7.5 oraz podrozdział 7.7 zawierający rozwiązania niektórych zadań. Ponadto dodano dwie pozycje [8] i [9] do bibliografii.