Kilka wykładów o funkcjach rzeczywistych.
Abstrakt
Podstawy teorii funkcji rzeczywistych znajdują liczne zastosowania w innych działach
matematyki. Na przykład funkcje o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] stanowią
ciekawą i ważną algebrę Banacha. Całka Riemanna-Stieltjesa ma istotne zastosowania
w probabilistyce i w równaniach różniczkowych. Funkcjom monotonicznym i funkcjom
o wahaniu skończonym są poświęcone dwa pierwsze rozdziały skryptu, a kolejny dotyczy
najważniejszych własności całki Riemanna-Stieltjesa.
Klasyczne twierdzenie Vitalego o pokryciu jest ważnym narzędziem w teorii funkcji
odwołującym się do miary Lebesgue’a na prostej. Z jego pomocą dowodzi się, że funkcja
monotoniczna na przedziale jest różniczkowalna prawie wszędzie. Ten materiał został
wyłożony w rozdziale 4.
Absolutnie ciągłość funkcji jest fundamentalnym pojęciem z punktu widzenia całki
Lebesgue’a. Tę klasę funkcji omówiono w rozdziale 5, zamieszczając ich elegancką
charakteryzację pochodzącą od Banacha i Zareckiego. Geneza funkcji pierwszej klasy
Baire’a wywodzi się z początków tzw. deskryptywnej teorii mnogości. Te funkcje rozpatrywane
w różnych ujęciach nadal są interesujące z punktu widzenia topologii i analizy
funkcjonalnej. Zostały one omówione w rozdziale 6, gdzie przedstawiono m.in. klasyczną
charakteryzację Lebesgue’a wyrażoną w języku przeciwobrazów półprostych.
Ostatni rozdział 7 zawiera zestaw zadań ilustrujących rozważania teoretyczne z poprzednich
rozdziałów.
W nowym wydaniu skryptu usunięte zostały usterki zauważone w poprzedniej wersji.
Rozszerzono materiał dotyczący funkcji absolutnie ciągłych i funkcji pierwszej klasy
Baire’a poprzez dołączenie podrozdziałów 5.3 i 6.3. W rozdziale 7 pojawiły się nowe
podrozdziały 7.1 i 7.5 oraz podrozdział 7.7 zawierający rozwiązania niektórych zadań.
Ponadto dodano dwie pozycje [8] i [9] do bibliografii.