Kilka wykładów o funkcjach rzeczywistych.
Ładowanie...
Data
2022
Autorzy
Tytuł czasopisma
ISSN czasopisma
Tytuł tomu
Wydawca
Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej
Lodz University of Technology Press
Lodz University of Technology Press
Abstrakt
Podstawy teorii funkcji rzeczywistych znajdują liczne zastosowania w innych działach
matematyki. Na przykład funkcje o wahaniu skończonym na przedziale [a, b] stanowią
ciekawą i ważną algebrę Banacha. Całka Riemanna-Stieltjesa ma istotne zastosowania
w probabilistyce i w równaniach różniczkowych. Funkcjom monotonicznym i funkcjom
o wahaniu skończonym są poświęcone dwa pierwsze rozdziały skryptu, a kolejny dotyczy
najważniejszych własności całki Riemanna-Stieltjesa.
Klasyczne twierdzenie Vitalego o pokryciu jest ważnym narzędziem w teorii funkcji
odwołującym się do miary Lebesgue’a na prostej. Z jego pomocą dowodzi się, że funkcja
monotoniczna na przedziale jest różniczkowalna prawie wszędzie. Ten materiał został
wyłożony w rozdziale 4.
Absolutnie ciągłość funkcji jest fundamentalnym pojęciem z punktu widzenia całki
Lebesgue’a. Tę klasę funkcji omówiono w rozdziale 5, zamieszczając ich elegancką
charakteryzację pochodzącą od Banacha i Zareckiego. Geneza funkcji pierwszej klasy
Baire’a wywodzi się z początków tzw. deskryptywnej teorii mnogości. Te funkcje rozpatrywane
w różnych ujęciach nadal są interesujące z punktu widzenia topologii i analizy
funkcjonalnej. Zostały one omówione w rozdziale 6, gdzie przedstawiono m.in. klasyczną
charakteryzację Lebesgue’a wyrażoną w języku przeciwobrazów półprostych.
Ostatni rozdział 7 zawiera zestaw zadań ilustrujących rozważania teoretyczne z poprzednich
rozdziałów.
W nowym wydaniu skryptu usunięte zostały usterki zauważone w poprzedniej wersji.
Rozszerzono materiał dotyczący funkcji absolutnie ciągłych i funkcji pierwszej klasy
Baire’a poprzez dołączenie podrozdziałów 5.3 i 6.3. W rozdziale 7 pojawiły się nowe
podrozdziały 7.1 i 7.5 oraz podrozdział 7.7 zawierający rozwiązania niektórych zadań.
Ponadto dodano dwie pozycje [8] i [9] do bibliografii.
Opis
Wydanie drugie poprawione i rozszerzone
Słowa kluczowe
funkcje monotoniczne, funkcje o wahaniu skończonym, całka Riemanna-Stieltjesa, twierdzenie Vitalego o pokryciu, funkcje absolutnie ciągłe, monotonic functions, finite oscillation functions, the Riemann-Stieltjes integral, Vitali's coverage theorem, absolutely continuous functions
Cytowanie
Balcerzak M., Kilka wykładów o funkcjach rzeczywistych., Seria: Podręczniki i Skrypty Politechniki Łódzkiej; Nr 2400, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2022, ISBN 978-83-66741-45-4, doi: 10.34658/9788366741454.